函数连续的充要条件证明
判断函数f(x)在x0点处连续,当且仅当f(x)满足以下三个充要条件:1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。2、f(x)在x0的极限存在。3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。
对于这种现象,我们说因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知,一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
法则:
定理一在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二连续单调递增(递减)函数的反函数,也连续单调递增(递减)。
定理三连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
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