方差和標準差公式
設一組數據x1,x2,x3……xn中,各組數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1-)2,(x2-2……(xn-)2,那麼我們用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小,並把它叫做這組數據的方差。
例如兩人的5次測驗成績如下:X: 50,100,100,60,50,平均值E(X)=72;Y:73, 70,75,72,70 平均值E(Y)=72。平均成績相同,但X 不穩定,對平均值的偏離大。
方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值,記為E(X):直接計算公式分離散型和連續型。推導另一種計算公式得到:“方差等於各個數據與其算術平均數的離差平方和的平均數”。其中,分別為離散型和連續型計算公式 。 稱為標準差或均方差,方差描述波動程度。
設C為常數,則D(C) = 0(常數無波動);D(CX )=C2D(X ) (常數平方提取,C為常數,X為隨機變量)。
證:特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)。
若X 、Y 相互獨立,則,證:記前面兩項恰為 D(X )和D(Y ),第三項展開後為
當X、Y 相互獨立時,故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和,可推廣到有限項。
方差公式平均數:(n表示這組數據個數,x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)。
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