海涅定理如何理解
海涅定理的理解是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理,求函数极限则可化为求数列极限,同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此,函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。
海涅定理的内容:
函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是,对于任何满足以下三个条件的数列{xn},都有n→+∞时f(xn)的极限等于A成立:
(1)对任何正整数n,都有xn≠x0;
(2)对任何正整数n,f(xn)都要有定义;
(3)n→+∞时xn→x0。
要证明一个函数极限不存在有两种思路:
一是找到一个满足定理中三个条件的数列{xn}使得n→+∞时f(xn)的极限不存在;
二是找到两个满足定理中三个条件的数列{xn}和{x'n}使得n→+∞时f(xn)和f(x'n)不相等。
此外,若某个函数极限的值已经确定,则对应的数列极限也为此值,这里的理论依据也是海涅定理。通过这个道理,我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算(这样方便求导、使用洛必达法则等),然后转化回数列极限。
海涅定理的作用:
根据海涅定理的充分必要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时,海涅定理起着重要的作用。海涅定理是德国数学家海涅(Heine)给出的,应用海涅定理人们可把函数极限问题转化(归结)成数列问题,因而人们又称它为归结原则。
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
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