e^xcos2xdx的不定積分

xcos2xdx的不定積分計算過程是∫xcos2xdx=(1/2)∫xdsin2x=(1/2)xsin2x-(1/2)∫sin2xdx=(1/2)xsin2x+(1/4)cos2x+C。

不定積分的意義：

設G(x)是f(x)的另一個原函數，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。於是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由於在一個區間上導數恆為零的函數必為常數，所以G(x)-F(x)=C’（C‘為某個常數）。

這表明G(x)與F(x)只差一個常數，因此，當C為任意常數時，表達式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函數。也就是説f(x)的全體原函數所組成的集合就是函數族{F(x)+C|-∞<；C<；+∞}。

幾何意義是被積函數與座標軸圍成的面積，x軸之上部分為正，x軸之下部分為負，根據cosx在[0，2π]區間的圖像可知，正負面積相等，因此其代數和等於0。若F是f的一個原函數，則稱y=F(x)的圖像為f的一條積分曲線。f的不定積分在幾何上表示f的某一積分曲線沿着縱軸方向任意平移，所得到的一切積分曲線所組成的曲線族。