行列式的等价定义是什么
行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或| A|。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用,那么行列式的等价定义是什么?
1、行列式有很多等价定义。等价定义就是你可以拿其中一个作为定义,而另外的就是他的充分必要条件。我可以举出三个。
2、第一个应该是大部分国内教材用的。用a{i,j}表示行列式第i行j列元素,p=(p1,p2,。。。,pn)表示1到n的排列,tp代表排列p的逆序数。n阶行列式的值等于对全部的排列p,(-1)^tp*a{1,p1}*a{2,p2}*。。。*a{n,pn}的和。
3、第二个是递归定义,一阶行列式|a|=a,高阶行列式按第一行展开,即行列式等于a{1,k}*A{1,k}对全部k=1,2,。。。,n求和。其中A{1,k}为a{1,k}的代数余子式。可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。
4、第三种是从性质入手定义。从上面两个定义来看,行列式可以看成一个n^2个域F元素到域F上的函数。我们将每一列元素视为一个列向量,即向量空间F^n中的元素,那么行列式是n个F^n中元素到F上的函数。我们可以这么定义行列式:若F^n到F上的n元函数f是n重线性标准反对称的,则f是域F上的行列式。这种定义其实就是从行列式性质(列按加拆,整列的系数可提出,单位矩阵行列式为1,交换列行列式乘-1)出发倒过来定义行列式,这个定义想要合法必须证明这样的函数具有确定性、唯一性,具体证明就不写了。利用这个定义是可以推出值等同于定义1,2的结果的,所以是等价定义。
关于行列式的等价定义是什么内容的介绍就到这了。
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