泰勒公式是怎樣推導的
泰勒公式的推導過程爲:若函數f(x)在包含x0的某個開區間(a,b)上具有(n+1)階的導數,那麼對於任一x∈(a,b),有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!+f'(x0)/2!+...+f(n)'(x0)/n!+Rn(x)。
其中,Rn(x)=f(n+1)δ(x-x0)^(n+1)/(n+1)!,此處的δ爲x0與x之間的某個值。f(x)稱爲n階泰勒公式,其中,P(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!稱爲n次泰勒多項式。
x0由導數的定義可知,當函數f(x)在點x0處可導時,在點x0的鄰域U(x0)內恆有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)。因爲o(x-x0)是一個無窮小量,故有f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)。
從幾何上看,它是用切線近似代替曲線。然而,這樣的近似是比較粗糙的,而且只在點的附近纔有近似意義。爲了改善上述不足,使得近似替代更加精密,數學家們在柯西中值定理的基礎上,推匯出了泰勒中值定理(泰勒公式)。
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