特徵值相乘爲什麼等於行列式的值

因爲矩陣可以化成對角元素都是其特徵值的對角矩陣，而行列式的值不變，對角矩陣的行列式就是對角元素相乘。記矩陣爲A，記λ爲A的特徵值，按照定義有：f(λ)=det(A-λE)=0，f(λ)爲A的特徵多項式，A的所有特徵值爲f(λ)=0的根，根據韋達定理，方程的根的乘積與係數的關係，特徵值的乘積恰好爲矩陣A的主子式的代數和，而這個和等於detA。所以特徵值乘積等於行列式的值。

行列式的性質：

1、行列式A中某行（或列）用同一數k乘，其結果等於kA。

2、行列式A等於其轉置行列式AT。

3、若n階行列式|αij|中某行（或列）；行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列），一個是b1，b2，…，bn；另一個是с1，с2，…，сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

4、行列式A中兩行（或列）互換，其結果等於-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。

　拓展：

行列式定義的連加運算中，每一項可以這麼理解：

行列式每一行都選出一個數字進行連乘，並且這些選出的數不能是同一列的。次數第二高的式子必須至少有n-1個(λ-aii)。

然而|λI-A|的連加運算中不可能有哪一項包含n-1個(λ-aii)。因爲如果存在包含n-1個(λ-aii)的項，那麼假設沒提供(λ-aii)的那行是第k行。

第k行必須從別的列上取一個數，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都佔用了並且還在對角線上。這導致第k行只能去第k列取數，而k行k列顯然是(λ-akk)，存在矛盾。

所以次數第二高的項也在（-1）τ(1，2,···，n)П(λ-aii)中。