sinx函數是收斂函數嗎
sinx是收斂的。sinx展開後是函數項級數,準確的說是冪級數,只有常數項級數可以直接談收斂或者發散。sinx展開成x的冪級數後它的收斂半徑是+∞,所以sinx在整條數軸上都是收斂的。可以把sinx展開成x的冪級數,這時把x當作常數,發現這是交錯級數,用絕對收斂的方法的話得到正項級數,這時用比值審斂法(達朗貝爾法)計算得到比值的極限爲0,0小於1,所以該級數是收斂的。
相關概念:
對於任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ(Xk)所產生的點列收斂,即其當k→∞時,Xk的極限趨於X*,則稱Xk+1=φ(Xk)在[a,b]上收斂於X*。
若存在X*在某鄰域R={X||X-X*小於δ},對任何的X0∈R,由Xk+1=φ(Xk)所產生的點列收斂,則稱Xk+1=φ(Xk)在R上收斂於X*。
一般的級數u1+u2+...+un+...它的各項爲任意級數。如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣un∣收斂,則稱級數Σun絕對收斂。如果級數Σun收斂,而Σ∣un∣發散,則稱級數Σun條件收斂。
正弦函數:
對於任意一個實數x都對應着唯一的角(弧度制中等於這個實數),而這個角又對應着唯一確定的正弦值sinx,這樣,對於任意一個實數x都有唯一確定的值sinx與它對應,按照這個對應法則所建立的函數,表示爲y=sinx,叫做正弦函數。
單位圓定義
圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同x軸正半部分得到一個角θ,並與單位圓相交。這個交點的y座標等於sinθ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度1,所以有了sinθ=y/1。
單位圓可以被認爲是透過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1檢視無限數目的三角形的一種方式。即sinθ=AB,與y軸正方向一樣時正,否則爲負對於大於2π或小於0的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。
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