函數連續的充要條件證明

判斷函數f(x)在x0點處連續，若且唯若f(x)滿足以下三個充要條件：1、f(x)在x0及其左右近旁有定義。2、f(x)在x0的極限存在。3、f(x)在x0的極限值與函數值f(x0)相等。

函數y=f（x）當自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣温隨時間變化，只要時間變化很小，氣温的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。

對於這種現象，我們説因變量關於自變量是連續變化的，連續函數在直角座標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。

法則：

定理一在某點連續的有限個函數經有限次和、差、積、商（分母不為0）運算，結果仍是一個在該點連續的函數。

定理二連續單調遞增（遞減）函數的反函數，也連續單調遞增（遞減）。

定理三連續函數的複合函數是連續的。

這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。