蒙特卡羅的方法是

蒙特卡羅方法是一種通過隨機變量的數字模擬和統計分析來求取數學物理、工程技術問題近似解的數值方法，基本步驟：隨機變量的抽樣試驗。按基本隨機變量（輸入隨機變量）的已知概率分佈進行隨機抽樣（數字模擬）。樣本反應求解。對每個抽取的樣本，按問題的性質採用確定性的控制數學、物理方程求取樣本反應。計算反應量的統計量估計。對所有樣本反應，按所求解答的類型分別求取輸出隨機變量的均值、方差或概率分佈。

當求解確定性問題時，首先，要根據所提出的問題構造一個簡單、適用的概率模型，使問題的解對應於該模型中隨機變量的某些數字特徵（如概率、數學期望、方差等）；然後，在高速運行的計算機上生成隨機數，並對隨機數進行統計分析試驗；最後，利用試驗所獲結果求出統計特徵的估計值作為問題的近似解。總結以上思想，可以得出利用蒙特卡羅方法求解確定性問題的基本步驟為：

（1）根據所要求解的實際問題來構造概型，並使概型的某些統計特徵恰好相當於所要求的問題的解。

（2）根據所建立的概率模型，設計、使用一些加速收斂的方法，以求加速收斂並提高計算精度。

（3）給出在計算機上產生概型中各種不同分佈隨機變量的方法。

（4）統計處理模擬結果，給出問題的近似解並做解的精度估計。

蒙特卡羅方法雖然可以求解許多確定性工程技術問題，但其獨到之處還應該在於求解隨機性問題。用蒙特卡羅方法求解隨機性問題時，一般首先，根據問題的物理性質建立隨機模型；然後，再根據模型中各個隨機變量的分佈，在計算機上產生隨機數，進行大量的統計試驗，以取得所求問題的大量試驗值；最後，根據這些試驗結果求它的統計特徵量，從而獲得所求問題的解。由此可見，用蒙特卡羅方法求解隨機問題的步驟與求解確定性問題的步驟基本一致。

總之，蒙特卡羅方法的理論基礎是概率論中的大數定律。設在N次獨立試驗中，n為事件A出現的次數，而P（A）為事件A在每次試驗中出現的概率，貝努利大數定律指出，對於任意ε＞0，當N→∞時，事件A出現的頻率的概率收斂於事件的概率。

地下水系統隨機模擬與管理

當隨機變量滿足獨立分佈時，若隨機變量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分佈相同，ξi具有有限的數學期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，則根據柯欠莫哥洛夫大數定律，對於任意的ε＞0，當N→∞時，變量ξi將以概率1收斂於期望值a。

在蒙特卡羅方法中，採用簡單抽樣方法進行隨機變量的數字模擬，因此其所抽取的子樣為具有同分布性質的獨立隨機變量，當抽取的樣本個數足夠大時，樣本均值將以概率1收斂於分佈均值，而事件A出現的頻率則以概率收斂於事件A出現的概率，這樣就保證了蒙特卡羅方法的概率收斂性。

根據所求解問題性質的不同，其基本隨機變量可能屬於不同的概率分佈，為了產生不同分佈類型的隨機變量的抽樣值（隨機數），一般需先產生一個在［0，1］上均勻分佈的隨機變量的抽樣值，然後按照給定的概率分佈類型將其轉化為所需隨機變量的抽樣值。因此，均勻分佈隨機變量隨機數的生成是蒙特卡羅方法實現的基礎。利用數值法產生的均勻隨機變量的抽樣值稱之為偽隨機數，這是因為數值方法的基礎是某一數學遞推公式，按這類遞推公式產生的抽樣與［0，1］均勻分佈中的抽樣在統計性質上不可能完全相同。

數學遞推公式的一般形式是：

式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一給定的函數形式。根據這一函數式，當給定一組初值，x0，x-1，…，x-k後，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均勻分佈隨機數生成的遞推公式有：

乘同餘法。用以產生（0，1）均勻分佈隨機數的遞推公式為：

式中：λ，M和x0——預先給定的常數。

式（2、4）的意義是指以M除以λxi-1後得到的餘數記為xi。由於是餘數。

如此所得的隨機數序列r1，r2，…，ri為具有（0，1）均勻分佈的隨機數。

由式（2、4）不難看出，不同的xi最多隻能有M個，相應地不同的隨機數ri也最多隻能有M個。所以當產生的隨機數ri個數多於M個時，就會出現循環數，這樣，便再不能看成是隨機數。為了使所產生的隨機數能經得住數理統計中的獨立性和均勻性檢驗，需要合理選擇隨機數生成參數x0，λ及M。