有界函數一定是有極限的嗎
有界函數不一定有極限,比如函數y=sinx,當x趨於無窮時,極限不存在。有限個有界函數的和、差、積必有界。極限存在只是函數有界的充分條件,而非必要條件,即函數有界但函數極限不一定存在。
如果函數在某點連續,那麼在這個點附近一定有一個鄰域,這個鄰域中函數是有界的。
有界函數是設f(x)是區間E上的函數,若對於任意的x屬於E,存在常數m、M,使得m≤f(x)≤M,則稱f(x)是區間E上的有界函數。其中m稱爲f(x)在區間E上的下界,M稱爲f(x)在區間E上的上界。
有界函數並不一定是連續的。根據定義,ƒ在D上有上(下)界,則意味着值域ƒ(D)是一個有上(下)界的數集。根據確界原理,ƒ在定義域上有上(下)確界。
一個特例是有界數列,其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定義的函數f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時,函數的值就變得越來越大。
函數的性質:
1、單調性
閉區間上的單調函數必有界。其逆命題不成立。
2、連續性
閉區間上的連續函數必有界。其逆命題不成立。
3、可積性
閉區間上的可積函數必有界。其逆命題不成立。
相關概念:
如果一個數列的項數n趨向於無窮大時,數列的極限存在,那麼就稱這個數列收斂。
而對於函數,如果一個函數的自變量趨向於X0(或∞)時,它的因變量趨向某個特定值或者趨向∞那麼就稱函數在X0(或無窮大)處有極限。
若一個數列收斂,那麼這個數列就是有界數列,若一個函數在某點處有極限,那麼這個函數在這個點處的去心領域內有界,也就是說局部有界。
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