有界函式一定是有極限的嗎

有界函式不一定有極限，比如函式y=sinx，當x趨於無窮時，極限不存在。有限個有界函式的和、差、積必有界。極限存在只是函式有界的充分條件，而非必要條件，即函式有界但函式極限不一定存在。

如果函式在某點連續，那麼在這個點附近一定有一個鄰域，這個鄰域中函數是有界的。

有界函式是設f（x）是區間E上的函式，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f（x）≤M，則稱f（x）是區間E上的有界函式。其中m稱為f（x）在區間E上的下界，M稱為f（x）在區間E上的上界。

有界函式並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ（D）是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。

一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ（x）=sinx所定義的函式f：R→R是有界的。當x越來越接近－1或1時，函式的值就變得越來越大。

函式的性質：

1、單調性

閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。

2、連續性

閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。

3、可積性

閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。

相關概念：

如果一個數列的項數n趨向於無窮大時，數列的極限存在，那麼就稱這個數列收斂。

而對於函式，如果一個函式的自變數趨向於X0（或∞）時，它的因變數趨向某個特定值或者趨向∞那麼就稱函式在X0（或無窮大）處有極限。

若一個數列收斂，那麼這個數列就是有界數列，若一個函式在某點處有極限，那麼這個函式在這個點處的去心領域內有界，也就是說區域性有界。