方差和標準差公式

設一組數據x1,x2,x3……xn中，各組數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1-)2，(x2-2……(xn-)2，那麼我們用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小，並把它叫做這組數據的方差。

例如兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72;Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為E(X)：直接計算公式分離散型和連續型。推導另一種計算公式得到：“方差等於各個數據與其算術平均數的離差平方和的平均數”。其中，分別為離散型和連續型計算公式 。 稱為標準差或均方差，方差描述波動程度。

設C為常數，則D(C) = 0(常數無波動);D(CX )=C2D(X ) (常數平方提取，C為常數，X為隨機變量)。

證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)。

若X 、Y 相互獨立，則，證：記前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開後為

當X、Y 相互獨立時，故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式平均數：(n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)。