多項式的運算法則是什麼

多項式是指由變量、係數以及它們之間的加、減、乘、冪運算得到的表達式，在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。那麼多項式的運算法則是什麼呢？

1、加法與乘法：有限的單項式之和稱為多項式。不同類的單項式之和表示的多項式，其中係數不為零的單項式的最高次數，稱為此多項式的次數。多項式的加法，是指多項式中同類項的係數相加，字母保持不變(即合併同類項)。多項式的乘法，是指把一個多項式中的每個單項式與另一個多項式中的每個單項式相乘之後合併同類項。

2、帶餘除法：若f(x)和g(x)是F[x]中的兩個多項式，且g(x)不等於0，則在F[x]中有唯一的多項式q(x)和r(x)，滿足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次數小於g(x)的次數。此時q(x)稱為g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)稱為餘式。當g(x)=x-α時，則r(x)=ƒ(α)稱為餘元，式中的α是F的元素。此時帶餘除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，稱為餘元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要條件是g(x)除ƒ(x)所得餘式等於零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那麼也稱g(x)能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特別地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要條件是ƒ(α)=0，這時稱α是ƒ(x)的一個根。

3、輾轉相除法：利用輾轉相除法的算法，可將ƒ(x)與g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的組合，而組合的係數是F上的多項式。如果ƒ(x)與g(x)的最大公因式是零次多項式，那麼稱ƒ(x)與g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推廣到幾個多項式的情形。如果F[x]中的一個次數不小於1的多項式ƒ(x)，不能表成F[x]中的兩個次數較低的多項式的乘積，那麼稱ƒ(x)是F上的一個不可約多項式。任一多項式都可分解為不可約多項式的乘積。

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