行列式的等價定義是什麼
行列式在數學中,是一個函數,其定義域為det的矩陣A,取值為一個純量,寫作det(A)或| A|。無論是在線性代數、多項式理論,還是在微積分學中(比如説換元積分法中),行列式作為基本的數學工具,都有着重要的應用,那麼行列式的等價定義是什麼?
1、行列式有很多等價定義。等價定義就是你可以拿其中一個作為定義,而另外的就是他的充分必要條件。我可以舉出三個。
2、第一個應該是大部分國內教材用的。用a{i,j}表示行列式第i行j列元素,p=(p1,p2,。。。,pn)表示1到n的排列,tp代表排列p的逆序數。n階行列式的值等於對全部的排列p,(-1)^tp*a{1,p1}*a{2,p2}*。。。*a{n,pn}的和。
3、第二個是遞歸定義,一階行列式|a|=a,高階行列式按第一行展開,即行列式等於a{1,k}*A{1,k}對全部k=1,2,。。。,n求和。其中A{1,k}為a{1,k}的代數餘子式。可以證明這種定義可以推廣成按任意行或列展開且展開的值相等。
4、第三種是從性質入手定義。從上面兩個定義來看,行列式可以看成一個n^2個域F元素到域F上的函數。我們將每一列元素視為一個列向量,即向量空間F^n中的元素,那麼行列式是n個F^n中元素到F上的函數。我們可以這麼定義行列式:若F^n到F上的n元函數f是n重線性標準反對稱的,則f是域F上的行列式。這種定義其實就是從行列式性質(列按加拆,整列的係數可提出,單位矩陣行列式為1,交換列行列式乘-1)出發倒過來定義行列式,這個定義想要合法必須證明這樣的函數具有確定性、唯一性,具體證明就不寫了。利用這個定義是可以推出值等同於定義1,2的結果的,所以是等價定義。
關於行列式的等價定義是什麼內容的介紹就到這了。
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