sinx函數是收斂函數嗎

sinx是收斂的。sinx展開後是函數項級數，準確的説是冪級數，只有常數項級數可以直接談收斂或者發散。sinx展開成x的冪級數後它的收斂半徑是+∞，所以sinx在整條數軸上都是收斂的。可以把sinx展開成x的冪級數，這時把x當作常數，發現這是交錯級數，用絕對收斂的方法的話得到正項級數，這時用比值審斂法（達朗貝爾法）計算得到比值的極限為0，0小於1，所以該級數是收斂的。

相關概念：

對於任意的X0∈[a，b]，由迭代式Xk+1=φ（Xk）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，Xk的極限趨於X*，則稱Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收斂於X*。

若存在X*在某鄰域R={X||X-X*小於δ}，對任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所產生的點列收斂，則稱Xk+1=φ（Xk）在R上收斂於X*。

一般的級數u1+u2+...+un+...它的各項為任意級數。如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣un∣收斂，則稱級數Σun絕對收斂。如果級數Σun收斂，而Σ∣un∣發散，則稱級數Σun條件收斂。

　正弦函數：

對於任意一個實數x都對應着唯一的角（弧度制中等於這個實數），而這個角又對應着唯一確定的正弦值sinx，這樣，對於任意一個實數x都有唯一確定的值sinx與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，表示為y=sinx，叫做正弦函數。

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交。這個交點的y座標等於sinθ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了sinθ=y/1。

單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。即sinθ=AB，與y軸正方向一樣時正，否則為負對於大於2π或小於0的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。